Comment décrire mathématiquement une polarisation circulaire?

 

par lionel6 |

     
Comment décrire mathématiquement une polarisation circulaire?

Les ondes lumineuses à polarisation circulaires ne sont pas toujours faciles à obtenir, cela peut cependant s'avérer très utile. Voyons les raisons plus concrètes de cette polarisation circulaire de la lumière.

Étapes de réalisation

1.

Comment décrire mathématiquement une polarisation circulaire?

La lumière est une onde électromagnétique transversale.

Elle consiste en un champ électrique (E) et un champ magnétique (B) mutuellement perpendiculaires et perpendiculaires à la direction de propagation du rayon lumineux.

Les champs E et B oscillent périodiquement dans le temps, en phase.

2.

Comment décrire mathématiquement une polarisation circulaire?

Une onde lumineuse est dites polarisée circulairement si le vecteur champ électrique garde une amplitude constante et tourne pendant que l'onde se propage. Plus précisément, il effectue une rotation complète sur le temps que l'onde avance d'une longueur d'onde.

La polarisation circulaire peut être dite gauche ou droite selon le sens de rotation

3.

On peut décrire l'évolution du vecteur champ électrique selon l'équation vectorielle.

E = Amplitude * sinus ( nombre_d'onde * ( position - vitesse * temps + phase_initiale ) )

4.

Si on se donne un système de coordonnées (X,Y) perpendiculaire à la direction de propagation, alors on peut décomposer le vecteur champ électrique selon ces deux axes.

5.

Selon l'axe des X, le champ électrique est la quantité vectorielle:

E_x = Amplitude_x * cosinus( nombre_d'onde * ( position - vitesse * temps + phase_initiale ) ).

6.

Selon l'axe des Y, le champ électrique est la quantité vectorielle:

E_y = Amplitude_y * cosinus( nombre_d'onde * ( position - vitesse * temps + phase_initiale ) + différence_phase_XY)

ou différence_phase_XY est une différence de phase relative entre les deux composantes.

7.

C'est cette différence de phase qui détermine la polarisation de la lumière.

8.

L'équation vectorielle du champ électrique vaut bien sur la somme des vecteurs champ électrique selon X et Y

E = E_x + E_y

E= Amplitude_x * cosinus( nombre_d'onde * ( position - vitesse * temps + phase_initiale ) ) + Amplitude_y * cosinus( nombre_d'onde * ( position - vitesse * temps + phase_initiale ) + différence_phase_XY).

9.

Comment décrire mathématiquement une polarisation circulaire?

La lumière est dite polarisée linéairement si la différence de phase relative entre les deux composantes perpendiculaires du champ électrique est égale à + ou - pi / 2 additionné à un multiple entier de + ou - 2 * pi

Dans notre développement on peut ne pas considérer le multiple entier de + ou - 2 * pi car le cosinus ne varie pas si on l'ajoute


(ou pi vaut bien sur 3,14 radians).

10.

Voyons le cas ou la différence de phase relative vaut + pi / 2

Dans ce cas la valeur de la composante du champ électrique selon Y vaut

E_y = Amplitude_y * cosinus( nombre_d'onde * ( position - vitesse * temps + phase_initiale ) + pi / 2).

11.

Avec une manipulation élémentaire de trigonométrie:

E_y = - Amplitude_y * sinus( nombre_d'onde * ( position - vitesse * temps + phase_initiale ) )

ou on a maintenant une expression négative en sinus.

12.

Ainsi, le champ électrique vaut maintenant

E= Amplitude_x * cosinus( nombre_d'onde * ( position - vitesse * temps + phase_initiale ) ) - Amplitude_y * sinus( nombre_d'onde * ( position - vitesse * temps + phase_initiale ) ).

13.

Si on pose Amplitude_x = A * OX et Amplitude_y = A * OY avec A une quantité scalaire et OX et OY des quantités vectorielles qui pointent respectivement selon le direction X et Y, alors on a

E= Amplitude ( OX * cosinus( nombre_d'onde * ( position - vitesse * temps + phase_initiale ) ) - OY * sinus( nombre_d'onde * ( position - vitesse * temps + phase_initiale ) ) )


On a donc une amplitude scalaire qui ne varie pas au cours du temps, mais l'orientation du champ électrique varie (tourne).

14.

Dans ce cas la rotation se fait dans le sens inverse des aiguilles d'une montre lorsqu'on regarde l'onde arriver vers soi, on parle de polarisation circulaire gauche.

15.

Dans le cas ou la différence de phase relative vaut - pi / 2

Dans ce cas la valeur de la composante du champ électrique selon Y vaut

E_y = Amplitude_y * sinus( nombre_d'onde * ( position - vitesse * temps + phase_initiale ) )

ou on a ici une expression positive en sinus

16.

Enfin, le champ électrique vaut dans ce cas

E= Amplitude_x * cosinus( nombre_d'onde * ( position - vitesse * temps + phase_initiale ) ) + Amplitude_y * sinus( nombre_d'onde * ( position - vitesse * temps + phase_initiale ) ).

17.

Et si on utilise les mêmes conventions que précédement on a:

E= Amplitude ( OX * cosinus( nombre_d'onde * ( position - vitesse * temps + phase_initiale ) ) + OY * sinus( nombre_d'onde * ( position - vitesse * temps + phase_initiale ) ) )

On a encore une amplitude scalaire qui ne varie pas au cours du temps, mais l'orientation du champ électrique varie (tourne).

18.

Cette fois la rotation se fait dans le sens des aiguilles d'une montre, une parle alors de polarisation circulaire droite.

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