Comment fait-on pour connaître le multiple d'un nombre ?

 

par juju27 |

     

Un multiple est un nombre entier (sans virgule) qui peut être divisé sans reste, par un autre nombre entier. Par exemple, 30 est un multiple de 6, car 30 / 6 = 5.
Il peut être parfois difficile de trouver le multiple d'un nombre. Voici donc quelques méthodes pour s'en sortir ...

Étapes de réalisation

1.

Un multiple de 2, est un nombre qui se termine soit par 0, 2, 4, 6, 8.
C'est à dire, un nombre pair.

Exemples : 14 ; 966 ; 10 782 ...

2.

Un multiple de 3 est un nombre qui, quand on additionne l'ensemble de ses chiffres, donne un multiple de 3.

Exemple : 954.
Si on additionne les chiffres qui forment ce nombre, on obtient :
9 + 5 + 4 = 18.

Or, 18 est un multiple de 3 facilement reconnaissable.
Donc, 954 est un multiple de 3.

3.

Un multiple de 4 est un nombre qui, une fois divisé par 2, donne un nombre pair.

Exemple : 564.

564 / 2 = 282.
282 est un nombre pair, donc 564 est un multiple de 4.

4.

Autre exemple : 982.

982 / 2 = 491.
491 n'est pas un nombre pair, donc, 982 n'est PAS un multiple de 4.

5.

Un multiple de 5 est un nombre qui se termine soit par un 0, soit par un 5.

Exemples : 120 ; 485 ; 675 ...

6.

Un multiple de 9 est un nombre qui, quand on additionne l'ensemble de ses chiffres, donne un multiple de 9.

Exemple : 9684
Si on additionne les chiffres qui forment ce nombre, on obtient :
9 + 6 + 8 + 4 = 27.

Or, 27 est un multiple de 9 facilement reconnaissable.
Donc, 9684 est un multiple de 9.

7.

Un multiple de 10 est un nombre qui se termine par un 0.

Exemples : 560 ; 720 ; 360 ...

8.

Un multiple de 11 est un nombre dont le chiffre du centre correspond à la somme des deux autres chiffres qui l'entourent.

Exemple : 495

4 + 5 = 9 = le chiffre du centre.
Donc 495 est un multiple de 11.

9.

Un multiple de 100 est un nombre qui se termine par deux 0.

Exemples : 1700 ; 84500 ; 98600 ...

Commentaires

SylouMan | 18/12/2015  

Bonjour,
Article intéressant, merci
Je voudrais apporter quelques (beaucoup finalement ^^) précisions :

Pour les multiples de 6

qui ne sont autres que des multiples de 3 et de 2 (tout deux premier entre eux, ça a de l'importance mais on verra ça plus loin ^^), il faut donc que le nombre soit divisible par 3 (somme des chiffre divisible par 3) et aussi par 2 (pair).

Exemple :


522 -> nombre pair et 5 + 2 + 2 = 9 donc multiple de 3, donc 522 est multiple de 6.
346 -> nombre pair mais 3 + 4 + 6 = 13, ce qui n'est pas un multiple de 3, donc 346 n'est pas un multiple de 6.
14139 - > nombre impair et donc, même si il est multiple de 3 (1 + 4 + 1 + 3 + 9 = 18), 14139 n'est pas multiple de 6.

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Pour les multiples de 4

Il y a une autre méthode qui consiste à vérifier si les deux derniers chiffres (dizaine et unité) forment un multiple de 4 (ex 32464, fini par 64 = 16 * 4 donc multiple de 4).
Une méthode perso est de d'abord regarder si le chiffre des unité est pair, si oui reste deux cas de figures : soit les dizaines sont pair et les unités sont un multiple de 4 (0, 4 ou 8), soit les dizaines sont impair et les unités ne sont pas multiple de 4 (mais toujours pair donc reste 2 ou 6).
Exemples :
94384 -> 94384 -> 8 est pair, 4 est pair et multiple de 4 -> 94384 est multiple de 4.
2612 -> 1 est impair et 2 est pair mais non multiple de 4 -> 2612 est multiple de 4.
1548746 -> 4 est pair mais 6 n'est pas multiple de 4 donc 1548746 n'est pas multiple de 4.
Une troisième méthode reviens à prendre les deux derniers chiffres et à prendre les reste de la division par 20 (soit modulo 20 comme on dit), si ce reste est multiple de 4 alors le nombre en entier est multiple de 4, cela est possible car 20 est un multiple de 4, d'ailleurs c'est pour ça que l'on ne regarde que les 2 derniers chiffres, cela revient à faire modulo 100 et 100 est multiple de 4.
Exemple : 73472 -> 72 % 20 = 12, 12 est multiple de 4, donc 73472 est multiple de 4.
1548746 -> 46 % 20 = 6 qui n'est pas multiple de 4, donc 1548746 toujours pas multiple de 4 ^^

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Pour les multiple de 8

c'est un peut comme le 4 sauf que là c'est avec les trois derniers chiffres (centaines, dizaines et unités) qui doivent être un multiple de 8 (exemple : 1456421832 -> 832 = 104 * 8).
Ma méthode est un peu plus tordu : premier check : est il pair? si oui -> ont prends le nombres formé des centaines et des dizaines, on les divise par 4 et on garde le reste (en gros on fait modulo 4, on peut simplifier un peu en faisant d'abord modulo 20), on multiplie ce résultat par 2 et on y ajoute les unité, si le résultat donne 8 alors le nombre est un multiple de 8, si jamais le résultat final est de zéro mais que le reste de la division était aussi de zéro dans ce cas ça marche quand même (et c'est aussi un multiple de 40 pour le coup ^^).
Je me suis rendu compte en relisant que l'on peux aussi simplement "recoller" le reste et l'unité pour obtenir un nombre entre 0 et 40, si ce nombre est divisible par 8 alors c'est gagné ^^!
Exemples :
1456421832 -> 83 modulo 4 = 3 (83 = 80 + 3 = 20*4 + 3), 3*2 = 6, 6 + 2 = 8; 1456421832 est donc un multiple de 8.
méthode alternative -> recoller 3 et 2 -> 32 -> multiple de 8 -> Gagné!
1546458 -> 45 modulo 4 = 1, 1*2 = 2, 2 + 8 = 10 donc 1546458 n'est pas multiple de 8.
méthode alternative -> 18 -> perdu.
6492120 -> 12 modulo 4 = 0, 0*2 = 0, 0 + 0 = 0 donc 6492120 est multiple de 8 et de 40 (et donc de 2, 4, 5, 10, 20 car 40 est multiple de ces nombres, mais ça c'est une autre histoire)
méthode alternative -> 00 -> Gagné!
Vite fait je fais le parallèle avec la troisième méthode des multiple de 4, on prends les trois derniers chiffres (au lieu des 2 du 4 car cette fois ci c'est mille la première puissance de 10 divisible par 8, 10 et 100 ne l'étant pas) on fait modulo 40 (on peu commencer par modulo 200 pour simplifier), si le résultat est multiple de 8 alors le nombre l'est aussi. Je ne mets pas d'exemple cette fois ci car c'est exactement ce que l'on fait dans la méthode précédente (mais de façon un peut détourner).

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Pour les multiples de 11

la méthode plus générale consiste à faire la différence entre la somme des chiffres de rang pair et le somme des chiffres de rang impair, si cette différence est un multiple de 11, alors le nombre est multiple de 11 (ça marche aussi pour les résultat négatifs : -11, -22, -33, ...). (exemple 9174 -> (9 + 7) - (1 + 4) = 16 - 5 = 11, 9174 est multiple de 11). En fait la méthode donné dans l'article n'est qu'un cas particulier de cette méthode où la différence vaut 0 -> 495 -> (4+5) - 9 = 0 et 0 est un multiple de 11 puisque 0*11 = 0 donc 495 définitivement multiple de 11 ^^

Pour les multiples de 7


La méthode est un peu plus compliquée.
Pour déterminer si un nombre N est divisible par 7, il faut procéder de la manière suivante:
On découpe le nombre N entre l´avant-dernier chiffre et le dernier. On soustrait alors 2 fois le chiffres de droite du nombre de gauche. On obtient ainsi un nouveau nombre. Si le nombre N était un multiple de 7, le nouveau nombre que l´on a obtenu est encore un multiple de 7.
On répète cette opération jusqu´à ce que l´on obtienne un nombre pour lequel on voit immédiatement qu´il est multiple de 7.
Exemple :
31759 -> On decoupe : 3175 9 -> On soustrait deux fois la partie droite de la partie gauche : 3175-2*9 = 3175-18 = 3157 -> On découpe : 315 7 -> On soustrait deux fois la partie droite de la partie gauche: 315-2*7 = 315-14 = 301 -> On découpe : 30 1 -> On soustrait deux fois la partie droite de la partie gauche: 30-2*1 = 28 Et 28 = 7*4. Donc 31759 est bien un multiple de 7.

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Pour les multiples de 123 !

123 est un multiple de 3 (1+2+3=6=3*2) donc tout multiple de 123 est multiple de 3. regardons ensuite 123/3, cela fait 41 donc 123 = 3 * 41, par chance tous les deux premiers, donc forcement premier entre eux. du coup un nombre qui est à la fois un multiple de 3 et de 41 sera d'office multiple de 123. pour le 3 on sait faire, par contre pour le 41....

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Les multiple de 41

: J'ai bien trouvé un semblant de méthode mais c'est galère et je ne suis pas sur que ça marche à tous les coup (donc la suite s'adresse surtout à ceux qui ont du temps à perdre ^^) : Il faut donc prendre la partie du nombre sans les unités puis la diviser par 4.
Si le résultat est inférieur à 40 alors il faut regarder les unités de ce résultat qui doivent correspondre aux unités du nombre de départ, de plus les dizaines (du résultat) doivent correspondre au reste de la précédente division.
Exemple 1107 -> 1107 -> 110/4 = 27 reste 2 -> les unités du résultat (7) correspondent bien aux unités du nombre (7) et les dizaines du résultat (2) aux reste de la division (2), en l’occurrence 1107 = 41*27.
Si le résultat est supérieur à 40 (mais différent d'un multiple de 40, sinon ça bug un peu...) alors il faudra soustraire 1 au unités du résultat d'autant de fois qu'il y a de 4 dans les dizaines (une fois qu'on à atteint 0 on revient à 9, ou alors on ajoute autant de dizaines nécessaires pour que la soustraction donne un résultat entre 0 et 9) puis on compare cette nouvelle unités aux unités de base et de nouveau ça doit correspondre, par contre la correspondance entre les dizaines (modulo 4) du résultat et le reste de la première division semble ne plus toujours être vérifier...
Bref,


Exemples :


5043 -> 5043 -> 504/4 = 126 reste 0, 12 = 4*3 donc on soustrais 3 à 6, ce qui fait 3 -> on retrouve la correspondance entre les unités (3 et3) et même entre les dizaines modulo 4 du résultat et le reste de la division (12%4=0 et 0). pour le coup on voit aussi que 5043 est un multiple de 3 (5+0+4+3 = 12) et donc 5043 est un multiple de 123 (bon j'ai triché puisque j'ai pris 41*123 pour trouver ce nombre ^^).
28126 -> 2812/4 = 703 reste 0, 70/4 = 17, 3 - 17 = -14, on ajoute 20 pour revenir entre 0 et 9, -14 + 20 = 6 = 6, par contre on oublie l'autre correspondance pour le coup...; pour finir un exemple au hasard pas multiple de 41 : 2158 ->215/4 = 53 reste 3, 5 = 1 + 4*1, donc on soustrait 1 à 3 ce qui donne 2 et ne correspond pas à 8, pareil pour l'autre correspondance 1 différent de 3. donc 2158 n'est pas multiple de 41. (Si ma théorie est valide ^^).
Sous forme littéral ma théorie donne : Si n = 10a + b (c'est ce que l'on fait lorsque l'on sépare les unité, b, du reste du nombre, a) avec a/4 = 10c + d, alors n est multiple de 41 si et seulement si (d - c/4) = b (et de préférence si a%4 = c/4, j'ajoute qu'il est systématiquement question de division entière = on ne prends pas en compte la partie décimale du résultat). En fait en même temps que j'écris tout ça (et que je fais plein de test, ne croyez pas que je sort ça de nulle part en 2 2 ^^), je me rends compte que cela reviens à chercher le 40ème de n puis d'ajouter une correction pour ce rapprocher du 41ème de n ce qui nous donne le x de 41*x = n et dans cette configuration, les unités de x seront égal aux unités de n quelque soit x. Du coup on fait d'une pierre 2 coups, on peut approximativement vérifier si un nombre est divisible par 41 et en même temps trouver de combien de fois il l'est!! Bon ce n'est pas beaucoup plus simple et ça perd vite en précision (passé les 36000, j'imagine que plus le nombre est grand plus il faut d'étape de calcul similaire au précédente).
Pour finir j'ajouterais quelque règle (élémentaire) utile pour vérifier de plus grand nombres:
 - A) Soit a,b et c des nombres entiers, si a divise b, et que b divise c, alors a divise aussi c; Cela reviens à dire que si c est multiple de b, et que b est multiple de a, alors c est aussi multiple de a.
C'est pour cela que j'ai pu préciser tout à l'heure que 6492120 étant multiple de 40, il était aussi multiple de 2, 4, 5, 10 et 20.


 - B) Soit a,b,c et n des nombres entiers, si c = a*b, que a et b sont premier entre eux (cad que leur PGCD est 1, c'est forcément le cas pour un couple de nombre premier) et que n est à la fois multiple de a et de b, alors n est aussi multiple de c.
C'est cette règle qui est utiliser pour les multiple de 6 (multiple de 3 et de 2), et c'est aussi celle que j'ai utiliser pour les multiple de 123 (multiple de 3 et de 41).
Autre exemple pour qu'un nombre soit multiple de 240 il faut qu'il soit multiple de 15 et de 16, car 15*16=240, 15 n'est divisible que par 1,3 et 5, 16 n'est divisible que par 1, 2, 4 et 8, leur PGCD est donc 1. Ensuite on remarque que 3 et 5 sont aussi premier entre eux (ce sont des nombre premier), donc pour être multiple de 15 il faut être multiple de 3 et 5 à la fois. Donc pour qu'un nombre soit multiple de 240 il faut 1) que la somme de ses chiffres soit égale à un multiple de 3, 2) qu'il finisse par 0 ou 5 (puisque 240 fini par un zéro, tout ses multiple finirons par zéro), 3) qu'il soit un multiple de 16.


Et comme en math il y a souvent plusieurs façon de résoudre un problème, on peut aussi dire que comme 240 c'est 10 * 24, mais que 10 et 24 ne sont pas premier entre eux (tout deux divisible par 2) c'est une autre règle, similaire, qui s'applique :
 
- C) Soit a,b,c et n des nombres entiers, si c = a*b, que a et b ne sont pas premier entre eux (cad que leur PGCD est supérieur à 1) et si n/a est multiple de b et/ou n/b est multiple de a, alors n est multiple de c.
Donc dans notre exemple 240 = 24 * 10, on divise d'abord notre nombre par 10, puis on regarde si le résultat est divisible par 24, comme 24 vaut 3*8 (ou encore 6*4 mais il est préférable, en générale, de choisir un couple de nombre qui soit premier entre eux) il faudra donc qui soit divisible par 3 et par 8. Cette fois si on cherche donc un nombre finissant par 0, et dont le dixième est un multiple de 8 et a la somme de ses chiffres multiple de 3 (pour le coup c'est un poil plus simple que la première méthode).


Et enfin une dernière règle ^^ plus simple mais un peu moins utile:
 
- D) Soit a,b,c et n des nombres entiers, si c = a*b et que n est multiple de c, alors n est à la fois multiple de a et de b. (mais bon en général c'est l'inverse qu'on cherche à déterminer ^^)


Voila, Bravo et merci au courageux qui ont lu jusque là ^^, si vous trouvez à redire ne vous gênez pas, spécialement pour la partie sur le 41 (même si j'ai fait des test, j'y suis allé au pifomètre ;-) ).


Bonne journée à vous et bonne chance dans vos aventures mathématiques ^^!

malicia | 28/09/2014  

on veut remplir un certain nombre de barquettes de 6,8 et 9 pêches sachant que le nombre de pêches est compris entre 2010 et 2050 combien y a t il de pêches ?

intello | 28/05/2014  

comment fait-on pour trouver un multiple de 8 ?

Ouissal | 29/03/2014  

Un multiple de 123 est ?

juju27 | 08/02/2014  

Un multiple de 3 et de7 qui donne le même résultat ? Je ne suis pas sûr d'avoir compris la question, mais je dirai 21...
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